120-121.tex

\documentclass{report} %report, proc, book, slides, letter
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb, latexsym}
\usepackage{fancyhdr}
\begin{document}
\textwidth 12.3cm
\newpage
\pagestyle{fancy}
\setcounter{page}{120}
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{equation}{5}
\fancyhead{}
\fancyhead[LO,LE]{\thepage}
\fancyhead[RO,RE]{III, ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ}
\fancyfoot{}
Ряд Лапласа можно продолжать до тех пор, пока какой-нибудь
из инвариантов $h^{n}$ не обратится тождественно в нуль. Замечательным свойством этого ряда является то, что если при каком-нибудь
n оказывается $h^{n}=0$, то для исходного уравнения может быть построена {\it формула общего решения} с двумя произвольными функциями, 
содержащая квадратуры. Если же ряд Лапласа «обрывается» с двух концов, то можно построить формулу общего решения
исходного уравнения, не содержащую квадратур. Эти красивые
аналитические факты здесь не доказываются, поскольку в дальнейшем они использоваться не будут. 
С ними можно познакомиться, например, по указанному в списке литературы к этой
главе классическому трактату Дарбу.

Для дальнейшего важен случай, когда инварианты $h^{n}$ находятся в постоянном отношении.

{\ttЛ е м м а.} {\itЕсли уравнение (h, k) таково, что отношения  
\begin{equation}
k/h=p,\hspace{1cm} (\partial_x\partial_y\ln h)/h=q
	\label{f3.6}
\end{equation}
постоянны, то все инварианты ряда Лапласа этого уравнения
находятся в постоянном отношении.}

{\tt Д о к а з а т е л ь с т в о.} В обозначениях ряда Лапласа ра-
венства (3.6) переписываются в виде
$$h^{-1}=ph^{0},\hspace{1cm} \partial_x\partial_y\ln h^{0}=qh^{0}. $$
Из формулы (3.5) при $n=0$ следует постоянство отношения
$h^{1}/h^{0}=2-p-q$. На основании этого постоянство отношения
$h^{n}/h^{0}$ устанавливается с помощью формулы (3.5) индукцией
но $n$.$\blacksquare$

В случае постоянных $р, q$ для отыскания отношения $h^{n}/h^{0}$
при любом $n$ надо рассмотреть формулу (3.5) как уравнение в конечных разностях
$$h^{n+1}-2h^{n}+h^{n-1}=-qh^{0}$$
с начальными условиями	$h^{-1}=ph^{0}, h^{0}=h^{0}$. Решение этой задачи
(очевидно, единственное) есть
\begin{equation}
h^{n}/h^{0}=1+(1-p)n-\frac{1}{2}qn(n+1).
	\label{f3.7}
\end{equation}
\setcounter{chapter}{4}
\setcounter{equation}{0}
{\bf \thechapter. Определяющие уравнения.} Если искать допускаемый уравнением (1.2) 
оператор вида $\alpha\partial_x+\beta^\partial_y+\gamma^\partial_z$ c координатами 
$\alpha, \beta, \gamma: {\bf Z \rightarrow R}$ , то окажется, что частью системы определяющих
 уравнений будут уравнения вида 7 (14.6), т. е. в данном случае уравне-
ния $\partial_x\alpha=\partial_y\beta=0,\hspace{1mm}\partial_y^{2}\gamma=0$. Из этого факта и результатов 7.14 следует, 
что для уравнения (1.2) его основная алгебра Ли есть $LE=L^{r}\bigoplus L^{\infty}$, где $L^{r}$ образована операторами вида
\begin{equation}
\zeta \cdot \partial = \xi(x, y)\partial_x+\eta(x, y)\partial_y+\sigma(x, y)\partial_z
	\label{f4.1}
\end{equation}


\newpage
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[RO,LE]{\thepage}
\fancyhead[LO,RE]{ \S9, УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ}
\fancyfoot{}

Очевидно, что преобразования растяжения с оператором $z\partial_{z}$ 
допускаются любым уравнением (1.2), т. е. входят в ядро основных групп класса уравнений (1.2). Поэтому оператор $z\partial_{z}$, можно 
включить в $L^\infty$ и считать, что функция $\sigma$ в операторе (4.1) определена с точностью до постоянного слагаемого. 

Определяющие уравнения выводятся, следуя алгоритму 5.8. 
Применение дважды продолженного оператора (4.1) 

$$\underset{2}{\zeta}\centerdot\partial=\zeta\centerdot\partial+\tau_{1}\partial_{z_{1}}+\tau_{2}\partial_{z_{2}}+
\tau_{11}\partial_{z_{11}}+\tau_{12}\partial_{z_{12}}+\tau_{22}\partial_{z_{22}};$$ 

$$\tau_{1}=\sigma_{x}z+(\sigma-\xi_{x})z_{1}-\eta_{x}z_{2}, \hspace{0.5cm} \tau_{2}=\sigma_{y}z-\xi_{y}z_{1}+(\sigma-\eta_{y})z_{2};$$ 
$$\tau_{11}=\sigma_{xx}z+(2\sigma_{x}-\xi_{xx})z_{1}-\eta_{xx}z_{2}+(\sigma-2\xi_{x})z_{11}-2\eta_{x}z_{12}, $$
$$\tau_{12}=\sigma_{xy}z+(\sigma_{x}-\xi_{xy})z_{1}+(\sigma_{x}-\eta_{xy})z_{2}-\xi_{y}z_{11}+ $$
$$+(\sigma-\xi_{x}-\eta_{y})z_{12}-\eta_{x}z_{22}, $$
$$\tau_{22}=\sigma_{yy}z-\xi_{yy}z_{1}+(2\sigma_{y}-\eta_{yy})z_{2}-2\xi_{y}z_{12}+(\sigma-2\eta_{y})z_{22},$$ 
к уравнению (1.2) дает условие инвариантности 
$$\sigma_{xy}z+(\sigma_{y}-\xi_{xy})z_{1}+(\sigma_{x}-\eta_{xy})z_{2}-\xi_{y}z_{11}-$$ 
$$-(\sigma-\xi_{x}-\eta_{y})(Az_{1}+Bz_{2}+Cz)-\eta_{x}z_{22}+A(\sigma_{x}z+(\sigma -\xi_{x})z_{1}-\eta_{x}z_{2})+$$ 
$$+B(\sigma_{y}z-\xi_{y}z_{1}+(\sigma -\eta_{y})z_{2})+C\sigma z+(\xi \partial_{x}A+\eta \partial_{y}A)z_{1}+$$ 
$$+(\xi \partial_{x}B+\eta \partial_{y}B)z_{2}+(\xi \partial_{x}C+\eta \partial_{y}C)z=0,$$ 

где $\sigma_{x}=\partial_{x}\sigma, \hspace{0.3cm} \sigma_{xy}=\partial_{x}\partial_{y}\sigma$ и т. д. 

Расщепление относительно «свободных» параметров $z, z_{1},$ 
$ z_{2}, z_{11}, z_{22}$ приводит к определяющим уравнениям, которые после 
небольшой обработки и использования инвариантов Лапласа 
(2.2) равносильны следующим: 
$$\xi_{y}=0, \hspace{1cm} \eta_{x}=0;$$ 
\begin{equation}
\partial_{x}(\sigma+B\xi+A\eta)=(h-k)\eta, \hspace{0.3cm} \partial_{y}(\sigma+B\xi+A\eta)=(h-k)\xi;
	\label{f4.2}
\end{equation}
\begin{equation}
\partial_{x}(k\xi )+\partial_{y}(k\eta)=0, \hspace{0.3cm} \partial_{x}(k\xi )+\partial_{y}(k\eta)=0.
	\label{f4.3}
\end{equation}
Первые два уравнения (\ref{f4.2}) показывают, что $\xi$ зависит только 
от $x$, а $\eta$ — только от $y$. Следующие два уравнения (\ref{f4.2}) служат 
для определения функции $\sigma$ после того, как найдены $\xi$ и $\eta$; условие 
совместности этих урпнпоиий следует из (\ref{f4.3}). При этом функция 
$\sigma$ определена уравнениями (\ref{f4.2}) однозначно с точностью до постоянного 
слагаемого, что соответствует предположению об опера- 
торах (\ref{f4.1}) допускаемой уравнением (1.2) алгебры Ли $L^r$. Таким 
образом, ответственными за общее решение определяющих уравнений 
и за результаты групповой классификации являются уравнения 
(\ref{f4.3}). На самом деле, используя леммы 9.2, легко проверить,
\end{document}